Бйорн начал свою "Красную" карьеру весьма многообещающе на позиции правого защитника. Весь сезон 1996-97 он стабильно выходил в стартовом составе, за исключением Еврокубков, где до этого был заигран за Русенборг. В начале сезона 1997-1998 он также уверенно занимал место в основе. Первым тревожным сигналом для Кварме стала игра на "Гудисон Парк" в октябре 1997 года. Тогда Данни Кадамартери расправлялся с Бйорном, как с ребёнком. Затем, несмотря на критику в свой адрес, после серии грубых ошибок в матче против Манчестер Юнайтед 6-го декабря норвежец всё еще остался в основе. Но окончательно впечатление о себе Бьёрн испортил откровенно слабым выступлением в начале 1998-го. После этого он перестал попадать в состав и в 1999 году перешёл во французский Сент-Этьен.