Этот настоящий маэстро полузащиты по праву вписал себя в 11 лучших игроков, когда либо игравших в составе Ливерпуля. Сунесс начал свою карьеру в 1968, когда он присоединился к Тоттенхему и сыграл немалую роль в блистательной игре молодежной команды "Шпор" в кубке. Всего он принял участие в четырех финалах, в двух из которых (в первом и четвертом) он забивал, а в третьем был удален. Уже в 17 лет у Грэма была возможность стать полноценным членом первой команды, но решение тренера клуба Билла Николсона не соответствовало желанием, и даже требованиям молодого дарования, и Сунесс вернулся в родную Шотландию. Кроме того, он успел поиграть в североамериканской футбольной лиге за клуб Монреаль Олимпик, после чего он был продан в Миддлсбро за 30 тысяч фунтов. В 1978 у него снова начались проблемы с дисциплиной. Тогда "Суи" грозился закончить футбольную карьеру. Но его остановил телефонный звонок, в котором сообщалось, что он должен прибыть в один из отелей Лидса, чтобы обсудить условия контракта с местной командой. Там же он узнал, что им интересуются чемпионы Европы. Борьба за полузащитника завершилась трансфером за рекордную на тот момент сумму.

Первый гол Сунесса в новом клубе был признан лучшим голом сезона. Тогда Грэм поразил ворота Манчестер Юнайтед. Хотя начало сезона у полузащитника и не задалось, в конце сезона он показывал потрясающую игру. Именно после его передачи Далглиш забил победный гол в финале Кубка Чемпионов. Сунесс и Макдермот стали основными полузащитниками в Ливерпуле того времени. Трофеи приходили один за другим, а гений Сунесса стал виден всем. В 1982 он стал капитаном команды, а его дуэт с Ронни Уилэном в полузащите был неподражаем. А сезон 1983/1984 стал для Грэма последним в клубе. Ливерпуль уверенно шел к четвертому финалу Кубка Европейских Чемпионов. Оппоненты из бухарестского Динамо атаковали "Суи" ментально и физически. Они утверждали, что в энфилдском матче Сунесс сломал челюсть одному из их партнеров, на что Грэм ответил уравновешенной, дисциплинированной игрой. Эти качества также помогли Сунессу во время римского финала против местной Ромы. Он великолепно справился с давлением и выдал одну из своих лучших игр в команде. Игра в Италии посодействовала переходу Грэма в Сампдорию. Но все таки закончить выступления в Ливерпуле на мажорной ноте ему удалось. Его гол принес победу в финале Кубка Лиги против Эвертона.

 В Сампдории он отыграл два неплохих года, помог команде выиграть Кубок Италии, даже забив в финале, а затем вернулся на родину, где стал играющим тренером в Рейнджерс. После этого он успел ухудшить отношение болельщиков Ливерпуля к себе, после того, как он три года бесславно тренировал "Красных". Но несмотря на это он всегда останется в сердцах болельщика клуба как один из лучших футболистов, когда либо надевавших футболку Ливерпуля.