Абрахам "Ави" Коэн стал первым иностранным игроком в команде спустя 24 года после ухода Роберта Радхема. Скауты Ливерпуля наблюдали за ним 6 месяцев, после чего дали добро на переход, который стоил двести тысяч английских фунтов стерлингов.

После недели тренировок с командой, Боб Пейсли бросил 23-летнего игрока в бой. Рэй Кеннеди травмировался, поэтому Ави сыграл первую игру против Лидса 15 сентября 1979. Правда после этого, защитника не было видно до апреля следующего года, когда в матче со Стоук Сити он заменил Колина Ирвина.

В самом главном матче сезона с Астон Виллой Коэн тоже вышел в основе. И провёл он крайне неоднозначный матч. После того, как Дэвид Джонсон вывел "Красных" вперёд, Ави срезал мяч в ворота Рэя Клеменса, записав на свой счет автогол. Правда, через 5 минут после перерыва, он исправился перед болельщиками и партнёрами по команде – сильным точным ударом он принёс чемпионство команде из Мерсисайда.

В сезоне 1980-81 Ави сыграл в 14 матчах, пытаясь бороться за место в составе с Аланом Кеннеди, но неудачно. В конце сезона его продали обратно в Израиль, где он и начинал карьеру. В 1987 году он вернулся в Великобританию, где немного поиграл за Рейнджерс.

Через год Коэн стал игроком клуба Маккаби Нетанья, где и завершил карьеру игрока в 1990 году. За национальную сборную своей страны он провел 51 матч и отметился трижды. По окончании игровой карьеры он тренировал многие израильские команды.

В 2008 году Ави принял участие в израильском Шоу "Танцы со звездами", где занял пятое место.

20 декабря 2010 года он попал в страшную автокатастрофу и оказался в коме. Сын Коэна Тамир на данный момент выступает за английский Болтон. Другой игрок "Рысаков", Йоан Элмандер, посвятил гол Ави, пожелав ему тем самым скорейшего выздоровления. Через восемь дней он скончался, не приходя в сознание.