Родившийся Рексхэме форвард, Блоур прошел в Ливерпуле через молодежные команды всх возрастов. Единственный матч в составе "Красных" он провел в 17-летнем возрасте против Стоук Сити в октябре 1959 года. Менее, чем через год он перебрался в Саутпорт, где забил 55 голов в 139 матчах четвертого дивизиона. В период 1963-65 он был резервистом Блэкберна, но вскоре перебрался в Олдхэм, где быстро завоевал место в основе. Там он провел 181 матч на позиции полузащитника в третьем дивизионе с 1965 по 1970 год. Последний сезон с Блоуром "Латикс" провели в четвертой лиге.

Помимо футбольных талантов, Реджи был неплохим игроком в гольф. В 1968 он выиграл чемпионат по гольфу среди футболистов-профессионалов.