Оттянутый нападающий Кевин играл за родной клуб Престон Норт Энд перед переездом на "Энфилде". В сезоне 1947-48 он провел лишь 6 матчей, но молодость и неопытность Кевина не позволили ему стать основным игроком. 

Прорыв Бэрона пришелся на сезон 1949-50, когда он пропустил лишь 4 матча лиги, а также играл в финале кубка Англии против Арсенала. В следующем сезоне он сыграл лишь в 7 матчах, а еще через год - пропустил 2 из 42 и забил 6 голов. В сезоне 1953-54 он провел 27 игр и забил 9 раз. В мае 1954 Кевин перешел в Саутенд Юнайтед.