Теннант начинал карьеру на позиции форварда в любительском Вашингтон Кольери. В Ливерпуле его заметили как правого защитника Торки Юнайтед. За "Красных" он дебютировал осенью и провел 7 матчей лиги кряду. Затем, пропустив 16 игр, он вернулся в основу, где добавил в актив 6 матчей. Сезон 1934-35 на позиции левого защитника начинал Эрни Блэкинсоп, после чего его на 26 оставшихся матчей заменил Теннант.

В следующем году он присоединился к вновь прибывшему в элиту Болтону. За "Рысаков" Джек провел 105 игр до начала Второй Мировой войны. Позже он играл за Ливерпуль во время войны.