Джонс родился в городе Армадейл, в Западной Австралии. Там же он подписал контракт с местным клубом Бэйсуотер. В январе 2002 года Джонс оказался в "Боро" и сразу же отправился с командой на матч против Фулхэма.

Несмотря на то, что он не участвовал в матчах первой команды, он оставался регулярным запасным вратарем на протяжении четырех матчей. У него сложились хорошие отношения с тогдашним тренером вратарей Полом Бэрроном и тренером Стивом Маклареном.

В сезоне 2003-04 он был единственным запасным вратарем клуба ввиду отсутствия основного резервного голкипера Карло Нэша.

Дебютной игрой Джонса стал полуфинал кубка Англии против Ноттс Каунти. Основной вратарь клуба - Марк Шварцер - травмировался, и Брэд сохранил место в воротах на матч Премьер-Лиги против Фулхэма, которой завершился победой Миддлсбро со счетом 2-1.

Талантливый и высокий вратарь, Брэд был частью молодежной команды "Боро", которая дошла до полуфинала молодежного кубка в 2000 году. Тогда Миддлсбро проиграли Арсеналу, будущему обладателю трофея.

В составе сборной Австралии U-20 он участвовал в Восточно-Азиатских играх в Осаке. Также Джонс играл за команду U-23 на олимпиаде в Афинах , и помог своей команде достичь четвертьфинала.

Стоит отметить, что карьера этого футболиста включала немало путешествий по арендам. Так, он побывал в клубе Шелбурн, Стокпорт Каунти, Роттерхэм Юнайтед, Блэкпул и Шеффилд Уэнсди. Именно с последними он сыграл наибольшее количество матчей: в составе "Сов" Брэдли провел 15 игр за три месяца.

Вернувшсь в "Боро", Брэд сразу же получил шанс сыграть за первую команду. Перед игрой с Арсеналом Марк Шварцер повредил спину, и Джонс занял место в воротах.

Именно после этого шеффилдский клуб принял решение арендовать кипера.

В конце сезона 2005-06, когда Брэд вернулся "на родину", Шварцер получил очередное повреждение, и Джонс снова стал основным голкипером. На протяжении того игрового года Брэд провел 4 игры в Кубке УЕФА, включая запоминающийся матч со Стяуа.

В этом же сезоне Брэд парировал пенальти в исполнении Ван Нистелроя. Игра с МЮ закончилась безголевой ничьей.

5 февраля в игре Уругвай-Австралия состоялся дебют австралийца во взрослой команде. Матч закончился поражением сборной Австралии 1-2. На данный момент на его счету всего два матча в рамках ворот страны с "зеленого континента".

Летом 2008 Шварцер перешел в Фулхэм. Джонс выиграл конкуренцию у Росса Тернбулла и занял место в воротах в первой игре сезона против Тоттенхэма.

Но уже во втором матче Миддлсбро, который проходил на "Энфилде", Брэд сильно повредил палец на разминке и потерял место в воротах. На носу была также важная кубковая игра. В итоге, Брэд вернулся только к январю 2009.

Однако сразу после возвращения Джонс занял место в воротах.

В январе 2009 он подписал новый трехлетний контракт.

Из-за травмы, полученной летом 2009, Брэд пропустил начало сезона. В то же время новичок Боро Дэнни Койн неплохо себя проявлял, и Джонсу пришлось подождать, прежде чем он стал первым номером команды под руководством Гордона Страхана.

Летом 2010 им активно интересовался новоиспеченный тренер Ливерпуля Рой Ходжсон. Следствием этого стал трансфер вратаря в стан "Красных". По сообщениям прессы, цена вопроса составила 2.3 миллиона фунтов.

После того, как Диего Кавальери перебрался в итальянскую Чезену, Джонсу доверили выступать в футболке с первым номером.